Xét phép đồng dạng tỉ số \(k\) biến các điểm \(A,B,C\) thành \(A',B',C'\).
Khi đó ta có:
\(A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2},\)\(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \).
Ta có: \({\left( {\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} } \right)^2}\)\( = A'B{'^2} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'} + {p^2}A'C{'^2}\)
\( = {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} \right)\)\( = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB} - p\overrightarrow {AC} } \right)^2} = 0\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {A'B'} - p\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow 0 \)
Giả sử ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng và điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(C\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} = p\overrightarrow {AC} \), với \(0 < p < 1\). Khi đó \(\overrightarrow {A'B'} = p\overrightarrow {A'C'} \), với \(0 < p < 1\).
Do đó ba điểm \(A',B',C'\) thẳng hàng và điểm \(B'\) nằm giữa hai điểm \(A'\) và \(C'\).
