Phương pháp:
+) \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\) (với \(b,d>0\)) thì \(ad < cb\)
+) \(a + b < c + b \Leftrightarrow a < b\)
+) \(an < bn\,\,\left( {n > 0} \right) \Leftrightarrow a < b\)
Lời giải
\(b>0\) nên \(b+n>0\) với \((n ∈ \mathbb N^*)\)
Trường hợp 1:
Ta có \(\displaystyle {a \over b} < {{a + n} \over {b + n}}\)
\(\Leftrightarrow a(b + n) < b(a + n)\) (vì \(b,b+n>0\))
\(\Leftrightarrow ab + an < ab + bn\)
\(\Leftrightarrow an < bn\)
\( \Leftrightarrow a < b\) (vì \(n > 0\)).
Vậy \(\displaystyle {a \over b} < {{a + n} \over {b + n}} \Leftrightarrow a < b\)
Trường hợp 2:
Ta có \(\displaystyle {a \over b} > {{a + n} \over {b + n}} \)
\(\Leftrightarrow a(b + n) > b(a + n)\) (vì \(b,b+n>0\))
\(\Leftrightarrow ab + an > ab + bn\)
\(\Leftrightarrow an > bn\)
\( \Leftrightarrow a > b\) (vì \(n > 0\))
Vậy \(\displaystyle {a \over b} > {{a + n} \over {b + n}} \Leftrightarrow a > b\)
Trường hợp 3:
\(\displaystyle{a \over b} = {{a + n} \over {b + n}} \)
\(\Leftrightarrow a(b + n) = b(a + n) \)
\(\Leftrightarrow ab + an = ab + bn\)
\(\Leftrightarrow an = bn\)
\( \Leftrightarrow a = b\) (vì \(n > 0\))
Vậy \(\displaystyle {a \over b} = {{a + n} \over {b + n}} \Leftrightarrow a = b\)
Bài 1.6
So sánh các số hữu tỉ sau:
a) \(\displaystyle {4 \over 9}\) và \(\displaystyle {{13} \over {18}}\);
b) \(\displaystyle {{ - 15} \over 7}\) và \(\displaystyle {{ - 6} \over 5}\);
c) \(\displaystyle {{278} \over {37}}\) và \(\displaystyle {{287} \over {46}}\);
d) \(\displaystyle {{ - 157} \over {623}}\) và \(\displaystyle {{ - 47} \over {213}}\)
Phương pháp:
Áp dụng kết quả của bài \(1.5\) SBT trang \(7\) ta có:
+) Nếu \(a<b\) thì \(\displaystyle {a \over b} < {{a + n} \over {b + n}} \)
+) Nếu \(a>b\) thì \(\displaystyle {a \over b} > {{a + n} \over {b + n}}\)
Lời giải
a) \(\displaystyle {4 \over 9} < 1 \Rightarrow {4 \over 9} < {{4 + 9} \over {9 + 9}} = {{13} \over {18}}\).
Vậy \(\displaystyle {4 \over 9} < {{13} \over {18}}\)
b) \(\displaystyle{{ - 15} \over 7} < 1 \)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 15} \over 7} < {{ - 15 + 3} \over {7 + 3}} = {{ - 12} \over {10}} = {{ - 6} \over 5}\).
Vậy \(\displaystyle {{ - 15} \over 7} < {{ - 6} \over 5}\).
c) \(\displaystyle {{278} \over {37}} > 1 \)
\(\displaystyle \Rightarrow {{278} \over {37}} > {{278 + 9} \over {37 + 9}} = {{287} \over {46}}\).
Vậy \(\displaystyle{{278} \over {37}} > {{287} \over {46}}\).
d) \(\displaystyle {{ - 157} \over {623}} < 1\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{ - 157} \over {623}} < {{ - 157 + 16} \over {623 + 16}} = {{ - 141} \over {639}} \)\(\,\displaystyle= {{ - 47} \over {213}}\).
Vậy \(\displaystyle {{ - 157} \over {623}} < {{ - 47} \over {213}}\).
Bài 1.7
Tìm phân số có mẫu bằng \(7\), lớn hơn \(\displaystyle {{ - 5} \over 9}\) và nhỏ hơn \(\displaystyle {{ - 2} \over 9}\).
Phương pháp:
* Gọi phân số phải tìm là \(\displaystyle {x \over 7}\) \((x\in\mathbb Z)\)
Từ điều kiện của đề bài tìm \(x\)
* Áp dụng: \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left( {b > 0} \right)\) thì \(a<c\).
Giải
Gọi phân số phải tìm là \(\displaystyle {x \over 7}\) \((x\in\mathbb Z)\) sao cho \(\displaystyle {{ - 5} \over 9} < {x \over 7} < {{ - 2} \over 9}\)
Quy đồng mẫu ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - 5}}{9} = \dfrac{{ - 5.7}}{{9.7}} = \dfrac{{ - 35}}{{63}}\\\dfrac{x}{7} = \dfrac{{x.9}}{{7.9}} = \dfrac{{9x}}{{63}}\\\dfrac{{ - 2}}{9} = \dfrac{{ - 2.7}}{{9.7}} = \dfrac{{ - 14}}{{63}}\end{array}\)
Do đó \(\displaystyle {{ - 35} \over {63}} < {{9x} \over {63}} < {{ - 14} \over {63}}\)
Suy ra \(-35 < 9x < -14\), vì \(x ∈\mathbb Z\) nên \(x ∈ \left\{ {-2;-3} \right\}\).
Vậy phân số phải tìm là: \(\displaystyle {{ - 2} \over 7};\;{{ - 3} \over 7}\).
Bài 1.8
Tìm phân số có tử bằng \(7\), lớn hơn \(\displaystyle {{10} \over {13}}\) và nhỏ hơn \(\displaystyle {{10} \over {11}}\).
Phương pháp:
* Gọi phân số cần tìm là: \(\displaystyle {7 \over x}\) \((x\in\mathbb Z,\;x\ne 0)\)
Từ điều kiện của đề bài tìm \(x\).
* Áp dụng: \(\dfrac{a}{b} > \dfrac{a}{c}\) (với \(a,b,c>0\)) thì \(b<c\).
Lời giải:
Gọi phân số cần tìm là: \(\displaystyle {7 \over x}\) \((x\in\mathbb Z,\;x\ne 0)\) sao cho \(\displaystyle {{10} \over {13}} < {7 \over x} < {{10} \over {11}}\)
Quy đồng tử ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{10}}{{13}} = \dfrac{{10.7}}{{13.7}} = \dfrac{{70}}{{91}}\\\dfrac{7}{x} = \dfrac{{7.10}}{{x.10}} = \dfrac{{70}}{{10x}}\\\dfrac{{10}}{{11}} = \dfrac{{10.7}}{{11.7}} = \dfrac{{70}}{{77}}\end{array}\)
Do đó \(\displaystyle {{70} \over {91}} < {{70} \over {10x}} < {{70} \over {77}}\)
Suy ra \(91 > 10x > 77\), vì \(x\in\mathbb Z\) nên \(x \in \left\{ {8,9} \right\}\)
Vậy phân số phải tìm là \(\displaystyle {7 \over 8} ;\; {7 \over 9} \).
