a) Hình chữ nhật \(ABCD\) đã cho có diện tích là \({S_{ABCD}} = 3.5 = 15\,(c{m^2}).\)
Chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) là \((5+3).2=16\;(cm)\)
- Hình chữ nhật có chiều rộng là \(1\,cm\), chiều dài là \(12\,cm\) có diện tích là \(12c{m^2}<{S_{ABCD}}\) và chu vi là \(( 1+12).2 = 26\,(cm)\) (có \(26>16\)).
- Hình chữ nhật có chiều rộng là \(2\,cm\), chiều dài là \(7\,cm\) có diện tích là \(14c{m^2}<{S_{ABCD}}\) và chu vi là \((2+7).2 = 18\,(cm)\) (có \(18 > 16\)).
Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật \(ABCD\) cho trước.
b) Chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) đã cho là:
\((5+3).2 = 16 \,(cm)\)
Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) là:
\(16 : 4 = 4\,(cm).\)
Diện tích hình vuông này là \(4.4 = 16 ({m^2})\)
Vậy \({S_{hcn}} < {S_{hv}}\)
Vẽ được một hình vuông như vậy.
+) Tổng quát: Giả sử hình chữ nhật có các kích thước là \(a, b\). Khi đó:
- Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(ab\)
- Cạnh của hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật là: \(\dfrac{{a + b}}{2}\)
Vậy diện tích hình vuông đó là: \({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)
Ta có:
\({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \)\(\,= \dfrac{{{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4{\rm{a}}b}}{4} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} + ab \ge ab\)
( vì \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} \ge 0\,\forall \,a,\,b\))
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
