Trong \(∆ABM\) có \(\widehat {BAM} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow AB < BM\) (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)
Mà \(BM = BE + EM = BF – MF\)
Do đó: \(AB < BE + EM\) (1)
Và \( AB < BF – FM\) (2)
Suy ra: \(AB + AB < BE + ME + BF - MF \) (3)
Xét hai tam giác vuông \(AEM\) và \(CFM:\)
+) \(\widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {CFM} = 90^\circ \)
+) \(AM = CM\) (gt)
+) \(\widehat {AM{\rm{E}}} = \widehat {CMF}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(∆AEM = ∆CFM\) (cạnh huyền góc nhọn)
\( \Rightarrow ME = MF\) (hai cạnh tương ứng) (4)
Từ (3) và (4) suy ra : \(AB + AB < BE + BF\)
\( \Rightarrow 2{\rm{A}}B < BE + BF \)\(\displaystyle \Rightarrow AB < {{BE + BF} \over 2}\)
