Bài 15 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\) Trên các cạnh bên \(AB, AC\) lấy theo thứ tự các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = AE.\)

a) Chứng minh rằng \(BDEC\) là hình thang cân.

b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng \(\widehat{A}=50^o\).

a) Ta có \(AD =  AE\) (giả thiết) nên  \(∆ADE\) cân (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

 \( \Rightarrow \widehat{D_{1}}\) = \(\widehat{E_{1}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(∆ADE\) có:  \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{E_1}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\widehat {{D_1}} + \widehat A = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) (gt) \(\Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)

Mà: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {2B} + \widehat A = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{D_{1}}\) = \(\widehat{B}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \(DE // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó \(BDEC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có \(\widehat{B} = \widehat{C}\) ( chứng minh trên )

Nên \(BDEC\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

b) Với \(\widehat{A}=50^o\)

Ta được \(\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180^{0}-\widehat{A}}{2} \)\(\,= \dfrac{180^{0}-50^{0}}{2} = 65^o\)

\(\widehat {{D_2}} + \widehat B = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow \widehat {{D_2}} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {65^0} \)\(= {115^0}\)

Mà \(BDEC\) là hình thang cân (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{E_2}}= {115^0}\) (tính chất hình thang cân)