Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: \(\widehat A,\widehat B,\widehat C,\widehat D\)theo thứ tự cắt nhau tại \(E,\, H,\, F,\, G.\)
Trong \(∆ ADG\) ta có: \(\widehat {GAD} = {45^0};\widehat {GDA} = {45^0}\) (gt)
\(⇒ ∆ GAD\) vuông cân tại \(G\)
\( \Rightarrow \widehat {AGD} = {90^0}\)và \(GD = GA\)
\( \Rightarrow \widehat {FGE} = \widehat {AGD} = {90^0}\)
Trong \(∆ BHC\) ta có:
\(\widehat {HBC} = {45^0};\widehat {HCB} = {45^0}\) (gt)
\(⇒ ∆HBC\) vuông cân tại \(H\)
\( \Rightarrow \widehat {BHC} = {90^0}\) và \(HB = HC\)
Trong \(∆ FDC\) ta có: \({\widehat D_1} = {45^0};{\widehat C_1} = {45^0}\) (gt)
\(⇒ ∆ FDC\) vuông cân tại \(F\) \( \Rightarrow \widehat F = {90^0}\) và \(FD = FC\)
nên tứ giác \(EHFG\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
Xét \(∆ GAD\) và \(∆ HBC :\)
\(\widehat {GAD} = \widehat {HBC} = {45^0}\)
\(AD = BC\) (tính chất hình chữ nhật)
\(\widehat {GDA} = \widehat {HCB} = {45^0}\)
Do đó: \(∆ GAD = ∆ HBC\, (g.c.g)\) \(⇒ GD = HC\)
\(FD = FC\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(FG = FH\)
Vậy hình chữ nhật \(EHFG\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
