Xét \(∆ CAB\) và \(∆ EMB :\)
\(CA = ME\) (gt)
\(\widehat C = \widehat E = {90^0}\)
\(CB = EB\) (tính chất hình vuông)
Do đó: \(∆ CAB = ∆ EMB\, (c.g.c)\)
\(⇒ AB = MB\) (1)
\(AK = DK +DA\)
\(CD = CA + AD\)
mà \(CA = DK\) nên \(AK = CD\)
Xét \(∆ CAB\) và \(∆ KIA :\)
\(CA = KI\) (vì cùng bằng \(DK\))
\(\widehat C = \widehat K = {90^0}\)
\(CB = AK\) (vì cùng bằng \(CD\))
Do đó: \(∆ CAB = ∆ KIA\, (c.g.c)\)
\(⇒ AB = AI\) (2)
\(DH = DK\) (vì \(KDHI\) là hình vuông)
\(EM = DK\) (gt)
\(⇒ DH + HE = HE + EM\)
hay \( DE = HM\)
Xét \(∆ HIM\) và \(∆ EMB :\)
\(HI = EM\) (vì cùng bằng \(DK\))
\(\widehat H = \widehat E = {90^0}\)
\(HM = EB\) (vì cùng bằng \(DE\))
Do đó: \(∆ HIM = ∆ EMB\, (c.g.c)\)
\(⇒ IM = MB\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AB = BM = AI = IM\)
Tứ giác \(ABMI\) là hình thoi.
Mặt khác, ta có \(∆ ACB = ∆ MEB\) (chứng minh trên)
\(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {EBM} \cr & \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = \widehat {CBE} = {90^0} \cr} \)
Suy ra: \(\widehat {EBM} + \widehat {ABE} = {90^0}\) hay \(\widehat {ABM} = {90^0}\)
Vậy : Tứ giác \(ABMI\) là hình vuông.
