Gọi \(H\) là trung điểm của \(DC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Dễ thấy tam giác \(HBC\) là tam giác vuông cân tại \(H\) có \(HB = HC = a\) thì \(BC = a\sqrt 2 \).
Lại có \({S_{SBC}} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SBC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) có \(HM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(SH = \sqrt {S{M^2} - H{M^2}} = 2a\)
Diện tích hình thang \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\)
Vậy thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{2}.2a = {a^3}\).
Chọn A.
