Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
Đặt \(CD = x\). Do \({S_{SCD}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SCD}}}}{{CD}} = \dfrac{{{a^2}}}{x}\)
Lại có \(OM \bot CD,SM \bot CD\) nên góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {SMO} = {60^0}\)
Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có \(OM = \dfrac{x}{2}\), \(SM = \dfrac{{{a^2}}}{x}\) và \(\widehat {SMO} = {60^0}\)
\( \Rightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{OM}}{{SM}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{2}:\dfrac{{{a^2}}}{x} \Leftrightarrow x = a\)
\( \Rightarrow OM = \dfrac{a}{2},SM = a\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\) \( = \dfrac{1}{3}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Chọn B.
