+) Với \(m = 1\) thì \(y = - {x^2} + 3\) là hàm đa thức bậc hai luôn có một cực trị nên thỏa mãn.
+) Với \(m \ne 1\) thì hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương có:
\(y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx\)\( = 2x\left[ {2(m - 1){x^2} - m} \right]\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m - 1} \right){x^2} - m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}}\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Hàm số có đúng một cực trị khi \(y' = 0\) có đúng một nghiệm, tức là:
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) hoặc vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 1\).
Kết hợp với \(m = 1\) ở trên ta được \(0 \le m \le 1\).
Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
