Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).

a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).

c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).

d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).

Lời giải

a) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1}  = (4; 1; 2)\)

Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2}  = (2; -2; 1)\)

Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.

Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.

b) \((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).

Xét hệ\(\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \(M_0(1; 1; -3) ∈ d\). 

Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{ x = 1 + s \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\)

c) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; 1; 2)\).

Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

\(\left\{ \matrix{ x = 4 + 4t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \((α)\) bằng cách thay các biểu thức của \(x, y, z\)  theo \(t\) vào phương trình của \((α)\), ta có:

\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H (0; 1; -1)\)

Gọi \(M' (x; y; z)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì \(\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {MH} \):

\(\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)\)

\(\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)\). 

\(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow M( - 4;0; - 3)\)

d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (1; 0; -2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)

\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)

Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:

\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow  s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)

\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'}  = 2\overrightarrow {NI} \)

\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4) \)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = ( - 2).2 \hfill \cr y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)


Bài Tập và lời giải

Bài 1 trang 100 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Giả sử \(x = \dfrac{a}{m};y = \dfrac{b}{m}\,\left( {a,b,m \in Z,m > 0} \right)\) và \(x < y.\) Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn \(z = \dfrac{{2a + 1}}{{2m}}\) thì ta có \(x < z < y.\) 

Xem lời giải

Bài 2 trang 100 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Tính \(\left( {2\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{1}{2}} \right):\left( { - 4\dfrac{1}{6} + 3\dfrac{1}{7}} \right) + 7\dfrac{1}{2}.\)

Xem lời giải

Bài 3 trang 100 SBT toán 7 tập 2
Tìm \(x\) biết \(\dfrac{{{{\left( { - 0,7} \right)}^2}.{{\left( { - 5} \right)}^3}}}{{{{\left( { - 2\dfrac{1}{3}} \right)}^3}.{{\left( {1\dfrac{1}{2}} \right)}^4}.{{\left( { - 1} \right)}^5}}}.\,x \)\(= \dfrac{{{{\left( { - 40} \right)}^2}}}{{{{3.7.2}^2}}}\) 

Xem lời giải

Bài 4 trang 100 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

So sánh:

a) \(8\dfrac{2}{3}:4\dfrac{1}{3} - 50\)  và \( - 47\)

b) \(\sqrt {37}  - \sqrt {14} \) và \(6 - \sqrt {15} \) 

Xem lời giải

Bài 5 trang 100 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có chu vi bằng \(24cm\) và các cạnh \(a,b,c\) tỉ lệ với \(3,4,5.\)

a)  Tính các cạnh của \(\Delta ABC.\) 

b) Tam giác \(ABC\) có phải là tam giác vuông không? Vì sao?

Xem lời giải

Bài 6 trang 100 SBT toán 7 tập 2
Trong mặt phẳng tọa độ hãy vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {1;2} \right).\) Đường thẳng \(OA\) là đồ thị của hàm số nào? 

Xem lời giải

Bài 7 trang 100 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Hàm số \(y = f(x)\) được cho bởi công thức \(y = -1,5x.\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên; 

b) Bằng đồ thị hãy tìm các giá trị \(f(-2), f(1), f(2)\) (và kiểm tra lại bằng cách tính).

Xem lời giải

Bài 8 trang 100 SBT toán 7 tập 2
Hãy sưu tầm một biểu đồ hình quạt (trong sách, báo hoặc tại một cuộc triển lãm) rồi nêu ý nghĩa của biểu đồ đó. 

Xem lời giải

Bài 9 trang 101 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy lần lượt vào hai bể. Bể thứ hai có sẵn \(50 \) lít nước. Bể thứ nhất chưa có nước. Mỗi phút vòi thứ nhất chảy vào bể 1 được \(20\) lít, vòi thứ hai chảy vào bể 2 được \(30\) lít.

a) Viết biểu thức đại số mô tả số nước trong mỗi bể sau thời gian x phút.

b) Tính lượng nước có trong mỗi bể sau \(x = 1, 2, 3, 10\) phút rồi điền kết quả vào bảng sau: 

Xem lời giải

Bài 10 trang 101 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Đánh dấu x vào ô mà em chọn là nghiệm của đa thức 

1) \(2x - 5\)

2,5

0

-2,5

2) \(2{x^2} - 50\)

-5

-12,5

5

12,5

3) \(13x - 26\)

-2

2

13

-13

4) \( - {x^2} + x + 2\) 

-1

1

-2

2

 

Xem lời giải