a) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1} = (4; 1; 2)\)
Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2} = (2; -2; 1)\)
Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.
Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.
b) \((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).
Xét hệ\(\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \(M_0(1; 1; -3) ∈ d\).
Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{ x = 1 + s \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\)
c) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:
\(\left\{ \matrix{ x = 4 + 4t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \((α)\) bằng cách thay các biểu thức của \(x, y, z\) theo \(t\) vào phương trình của \((α)\), ta có:
\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H (0; 1; -1)\)
Gọi \(M' (x; y; z)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì \(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \):
\(\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)\)
\(\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)\).
\(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow M( - 4;0; - 3)\)
d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (1; 0; -2)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:
\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)
\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)
Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:
\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)
\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \)
\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'} = (x; y - 2; z - 4) \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = ( - 2).2 \hfill \cr y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)
