Xét tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
Khi đó \(DM \bot AB,CM \bot AB\) \( \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {CAB} \right)\) và \(\left( {DAB} \right)\) bằng \(\widehat {CMD} = 2\widehat {CMN}\)
Ta có: \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},CN = \dfrac{a}{2}\)
Do đó: \(\sin \widehat {CMN} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow \cos \widehat {CMN} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Từ đó suy ra: \(\sin \widehat {CMD} = 2\sin \widehat {CMN}\cos \widehat {CMN}\)\( = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
