\(\begin{array}{l}a)\;\;2{x^3} - {x^2} + 3x + 6 = 0\\\Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} - 3{x^2} + 6x - 3x + 6 = 0\\\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {x + 1} \right) - 3x\left( {x + 1} \right) + 6\left( {x + 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 3x + 6} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\2{x^2} - 3x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\2{x^2} - 3x + 6 = 0\;\;\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải phương trình (*) ta có: \({\Delta = {{\left( { - 3} \right)}^2} - 4.2.6 = 9 - 48 =-39 < 0}\) nên phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = -1.\)
\(\begin{array}{l}b)\;x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 12\\ \Leftrightarrow \left[ {x\left( {x + 5} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \right] = 12\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) = 12 \, \, \, (*).\end{array}\)
Đặt \({x^2} + 5x = t \Rightarrow {x^2} + 5x + 4 = t + 4.\)
Khi đó phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {t + 4} \right) = 12\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + 6t - 2t - 12 = 0\\
\Leftrightarrow t\left( {t + 6} \right) - 2\left( {t + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t - 2 = 0\\
t + 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\\
t = - 6
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 5x = 2\\
{x^2} + 5x = - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 5x - 2 = 0\;\;\;\;\left( 1 \right)\\
{x^2} + 5x + 6 = 0\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
+) Giải phương trình \((1)\) ta có: \(\Delta = {5^2} + 4.2 = 33 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}.\)
+) Giải phương trình \((2)\) ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.6= 1 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = -2\) và \({x_2} = -3.\)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
\(x=\dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2};\) \(x=\dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2};\) \(x=-2;x=-3.\)
