a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\(2(x - k) = \pm {(x - 1)^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 1 = 2k\\{x^2} + 1 = 2k\end{array} \right.\)
Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y = - {x^2} + 4x - 1\) và \(y = {x^2} + 1\) như sau:
Từ đồ thị ta suy ra:
+) Nếu \(2k > 3 \Leftrightarrow k > \dfrac{3}{2}\): phương trình có hai nghiệm;
+) Nếu \(2k = 3 \Leftrightarrow k = \dfrac{3}{2}\): phương trình có ba nghiệm;
+) Nếu \(2 < 2k < 3 \Leftrightarrow 1 < k < \dfrac{3}{2}\): phương trình có bốn nghiệm;
+) Nếu \(2k = 2\): phương trình có ba nghiệm;
+) Nếu \(1 < 2k < 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < k < 1\): phương trình có bốn nghiệm ;
+) Nếu \(2k = 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2}\): phương trình có ba nghiệm ;
+) Nếu \(2k < 1 \Leftrightarrow k < \dfrac{1}{2}\): phương trình có hai nghiệm.
Kết luận:
+) Phương trình có \(4\) nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < k < \dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{2} < k < 1\end{array} \right.\).
+) Phương trình có \(3\) nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = \dfrac{1}{2}\\k = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
+) Phương trình có \(2\) nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > \dfrac{3}{2}\\k < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 - x} \right)\) ta có:
\(y' = - 3{x^2} + 3;\)\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra:
* \(k > 4\;\) hoặc \(k < 0\): phương trình có một nghiệm;
* \(k = 4\) hoặc \(k = 0\): phương trình có hai nghiệm;
* \(0 < k < 4\): phương trình có ba nghiệm.
