a) Ta có: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\)
Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm \(A\left( {x;y} \right)\) với mọi \(m\) khi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = - 7\\x = - 1;y = - 1\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm \(\left( {1; - 7} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right).\)
b) Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\); \(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\forall m\)
Do dó phương trình \(y' = 0\) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.
c) Với \(m = 0\) ta được hàm số \(y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\).
Có \(y' = 3{x^2} - 8x - 4\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{4 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
d) Với \(m = 0\) ta có:\(y = {x^3}-4{x^2}-4x\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3}-4{x^2}-4x = kx\) (2)
Đường thẳng\(y = kx\) cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
Có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right) = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 2 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = k + 8 > 0\\k \ne - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k > - 8\\k \ne - 4\end{array} \right.\).
Vậy với \(k > - 8\) và \(k \ne - 4\) thì \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = kx\) tại ba điểm phân biệt.
