a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB
⇒ CE // DF // IH
IC = ID (gt)
nên IH là đường trung bình của hình thang DCEF
\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) (1)
C là tâm hình vuông AMNP
⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C
CE ⊥ AM ⇒ CE là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ CE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM
D là tâm hình vuông BMLK ⇒ ∆ DBM vuông cân tại D
DF ⊥ BM
⇒ DF là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM
Vậy CE + DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM + \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM
= \(\displaystyle {1 \over 2}\) (AM + BM) = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB = \(\displaystyle {a \over 2}\)
⇒ IH = \(\displaystyle {{\displaystyle {a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\)
b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN
Ta có: AN ⊥ MP (tính chất hình vuông)
BL ⊥ MK (tính chất hình vuông)
MP ⊥ MK (tính chất hai góc kề bù)
Suy ra: BL ⊥ AN ⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định.
M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)
Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) .
