Cho hàm số: \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục \(Ox\).
c) Biện luận theo \(k\) số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k-2{x^2}\).
LG câu a
Phương pháp:
Khảo sát tóm tắt:
- Tìm TXĐ, tính đạo hàm \(y'\).
- Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Cách giải:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Có \(y' = {x^3} - 4x;\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG câu b
Phương pháp:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm.
- Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Ox\).
- Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
Cách giải:
\(\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow ({x^2} + 1)({x^2} - 9) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 3\end{array} \right.\)
Nên \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).
Ta có: \(y' = {x^3} - 4x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 3 \right) = 15\\y'\left( { - 3} \right) = - 15\end{array} \right.\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(\left( {3;0} \right)\) là \(y = 15\left( {x - 3} \right) + 0\) hay \(y = 15x - 45\).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) là \(y = - 15\left( {x + 3} \right) + 0\) hay \(y = - 15x - 45\).
LG câu c
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Biện luận số giao điểm theo số nghiệm của phương trình và kết luận.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \dfrac{9}{4} = k - 2{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^4} = 9 + 4k\,\,\left( * \right)\)
+) Nếu \(9 + 4k > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \sqrt {9 + 4k} \\{x^2} = - \sqrt {9 + 4k} \left( L \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[4]{{9 + 4k}}\) hay \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
+) Nếu \(9 + 4k = 0 \Leftrightarrow k = - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hay \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất.
+) Nếu \(9 + 4k < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{9}{4}\) thì \(\left( * \right)\) vô nghiệm.
Vậy: +) \(k = - \dfrac{9}{4}\) : (C) và (P) có một điểm chung là \(\left( {0; - \dfrac{9}{4}} \right)\)
+) \(k > - \dfrac{9}{4}\): (C) và (P) có hai giao điểm.
+) \(k < - \dfrac{9}{4}\) : (C) và (P) không cắt nhau.
