a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Chiều biến thiên:
Ta có: \(y' = - 4{x^3} - 2x = - 2x\left( {2{x^2} + 1} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \({y_{CD}} = 6\) và không có cực tiểu.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị đi qua các điểm \(\left( {1;4} \right)\) và \(\left( { - 1;4} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( { \pm \sqrt 2 ;0} \right)\).
b) Ta có: \(y' = - 4{x^3} - 2x\)
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = \dfrac{1}{6}x - 1\) nên tiếp tuyến có hệ số góc là \( - 6\).
Ta có: \( - 4{x^3} - 2x = - 6\)\( \Leftrightarrow 2{x^3} + x - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2({x^3} - 1) + (x - 1) = 0\)\( \Leftrightarrow (x - 1)(2{x^2} + 2x + 3) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\) (vì \(2{x^2} + 2x + 3 > 0,\forall x\))
Suy ra \(y\left( 1 \right) = 4\).
Phương trình tiếp tuyến là: \(y = - 6\left( {x - 1} \right) + 4\) hay \(y = - 6x + 10\).
