Bài 18 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang \(ABCD\) \(\left( {AB//C{\rm{D}}} \right)\) có \(AC = BD.\)

Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\), cắt đường thẳng \(DC\) tại \(E.\) Chứng mình rằng:

a) \(∆BDE\) là tam giác cân.

b) \(∆ACD = ∆BDC.\)

c) Hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.

a) \(E\) thuộc đường thẳng \(DC\) nên \(CE // AB.\)

Hình thang \(ABEC\; (AB // CE)\) có hai cạnh bên \(AC, BE\) song song (giả thiết) \( \Rightarrow AC = BE\)  (1)  (tính chất hình thang )

Lại có: \(AC = BD\) (giả thiết)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE = BD\) \( \Rightarrow \Delta BED\) cân tại \(B\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Ta có \(AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E\) (2 góc đồng vị) (3)

\(∆BDE\) cân tại \(B\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Xét \(∆ACD\) và \( ∆BDC\) có:

+) \(AC = BD\) (giả thiết)

+) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)

+) \(CD\) chung

Suy ra \(∆ACD = ∆BDC\) (c.g.c)

c) Ta có: \(∆ACD = ∆BDC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) (\(2\) góc tương ứng)

Hình thang \(ABCD\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.