Bài 1.80 trang 40 SBT giải tích 12

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4}-2m{x^2} + {m^3}-{m^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).

b) Xác định m để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.


Lời giải

Với \(m = 1\) ta được hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\).

Có \(y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Để \(\left( {{C_m}} \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu, \(1\) điểm cực đại và \({y_{CT}} = 0\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\).

Để hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại thì phương trình \({x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó hàm số có hai điểm cực tiểu là \(x = \sqrt m \) và \(x =  - \sqrt m \);

\( \Rightarrow {y_{CT}} = f\left( { \pm \sqrt m } \right)\) \( = {m^2} - 2{m^2} + {m^3} - {m^2} = {m^3} - 2{m^2}\)

\({y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 2{m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( {KTM} \right)\\m = 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.


Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”