a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Có \(y' = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 3\) nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Hàm số đã cho không có cực trị.
TCĐ: \(x = 3\) và TCN \(y = 1\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b)Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 3\).
Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\).
Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\left( {3;1} \right)\).
Thực hiện phép biến đổi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = X + 3}\\{y = Y + 1}\end{array}} \right.\) ta được \(Y + 1 = \dfrac{{X + 5}}{X}\)\( \Leftrightarrow Y = \dfrac{{X + 5}}{X} - 1 \Leftrightarrow Y = \dfrac{5}{X}\).
Vì \(Y = \dfrac{5}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ \(I\) của hệ tọa độ \(IXY\).
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận điểm \(I\left( {3;1} \right)\) làm tâm đối xứng trong hệ tọa độ cũ.
c) Giả sử \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\).
Gọi \({d_1}\) là khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận đứng và \({d_2}\) là khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang, ta có: \({d_1} = \left| {{x_0} - 3} \right|,\)\({d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \dfrac{5}{{|{x_0} - 3|}}\)
Suy ra \(\left| {{x_0} - 3} \right| = \dfrac{5}{{\left| {{x_0} - 3} \right|}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 5\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = \sqrt 5 \\{x_0} - 3 = - \sqrt 5 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 + \sqrt 5 \\{x_0} = 3 - \sqrt 5 \end{array} \right.\)
Với \({x_0} = 3 + \sqrt 5 \Rightarrow {y_0} = 1 + \sqrt 5 \) nên ta có điểm \(M\left( {3 + \sqrt 5 ;1 + \sqrt 5 } \right)\).
Với \({x_0} = 3 - \sqrt 5 \Rightarrow {y_0} = 1 - \sqrt 5 \) nên ta có điểm \(M\left( {3 - \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right)\).
Vậy có hai điểm \({M_1}\left( {3 + \sqrt 5 ;1 + \sqrt 5 } \right)\) và \({M_2}\left( {3 - \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right)\).
