\(a)\) \(P= {x^2} - 2x + 5\)\( = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)
Ta có:
\({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 \)\(= {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = 4\) là giá trị bé nhất khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)\( \Rightarrow x = 1\)
Vậy \(P=4\) là giá trị bé nhất của đa thức khi \(x=1\).
\(b)\) \( Q= 2{x^2} - 6x\)\( = 2\left( {{x^2} - 3x} \right) \)\(= 2\left( {{x^2} - 2.\displaystyle{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right)\)
\( \displaystyle= 2\left[ {{{\left( {x - {3 \over 2}} \right)}^2} - {9 \over 4}} \right]\)\(\displaystyle = 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\)
Ta có:
\(\displaystyle{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)\(\displaystyle \Rightarrow 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\)
\( \displaystyle\Rightarrow Q = - {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất khi\(\displaystyle {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = 0\)\( \Rightarrow x = {3 \over 2}\)
Vậy \(\displaystyle Q = - {9 \over 2}\) là giá trị bé nhất của đa thức \( x = \displaystyle{3 \over 2}\)
\(c)\) \(\displaystyle M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 \)\(\displaystyle= \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \)\(\displaystyle = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2.\displaystyle{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) \)\(\displaystyle= {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \)
Ta có:
\( {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;\)\(\displaystyle{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \)\(\Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} + \displaystyle{3 \over 4} \ge \displaystyle{3 \over 4}\)
\( \Rightarrow M = \displaystyle{3 \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)\( \Rightarrow y = - 3\) và \({\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} = 0 \)\(\Rightarrow x = \displaystyle{1 \over 2}\)
Vậy \(M = \displaystyle{3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y = - 3\) và \(x =\displaystyle {1 \over 2}\)
