Bài 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này

Cho bất phương trình 2x ≤ 3.

a) Trong các số \( - 2,\,\,2{1 \over 2};\,\pi ;\,\sqrt {10} \) số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên ?

b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không ? Vì sao ?

Tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\dfrac{1}{x}< 1-\dfrac{1}{x+1};\)

b)  \(\dfrac{1}{x^{2}-4}< \dfrac{2x}{x^{2}-4x+3};\)

c) \(2|x| - 1 + \sqrt[3]{x-1}<\dfrac{2x}{x+1};\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \dfrac{1}{x+4}.\)

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\);

b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \dfrac{1}{x^{2}+1}>\dfrac{1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\).

Giải các bất phương trình sau

a) \(\dfrac{3x+1}{2}-\dfrac{x-2}{3}< \dfrac{1-2x}{4};\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \)\(≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\).

 Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\dfrac{5}{7}<4x+7\\ \dfrac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 15x-2>2x+\dfrac{1}{3}\\ 2(x-4))< \dfrac{3x-14}{2}. \end{matrix}\right.\)