Bài 2. Cực trị của hàm số

Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) \(\displaystyle y =  - {x^2} + 1\) trong khoảng \(\displaystyle \left( { - \infty ; + \infty } \right)\);

b) \(\displaystyle y = {{x{{(x + 3)}^2}} \over 3}\) trong các khoảng \(\displaystyle ({1 \over 2};\,{3 \over 2})\) và \(\displaystyle ({3 \over 2};\,4)\)

Giả sử f(x) đạt cực đại tại \(x_0\). Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số \({{f({x_0} + \Delta x) - \,f({x_0})} \over {\Delta x}}\) khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

y = -2x + 1;

\(y = {{x{{(x - 3)}^2}} \over 3}\,\,\,(H.8)\)

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số: \(f(x) = \,x({x^2} - 3)\)

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

 a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\) ;

b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\) ;

c) \(y = x + {1 \over x}\)

d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^{2}}\);

 e) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\)

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ;

b) \( y = \sin 2x – x\);

c) \(y = \sin x + \cos x\);

d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{\left | x \right |}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}m{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số

\(y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)

đều là những số dương và \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\dfrac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).