Bài 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Đề bài

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\displaystyle \lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)\)

b.  \(\displaystyle \lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)\)

c.  \(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n}\)

d.  \(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}}\)

Bài 6. Tìm \(\lim{\rm{ }}{u_n}\) với

a.  \({u_n} = {{{n^2} - 3n + 5} \over {2{n^2} - 1}}\)

b.  \({u_n} = {{ - 2{n^2} + n + 2} \over {3{n^4} + 5}}\)

c.  \({u_n} = {{\sqrt {2{n^2} - n} } \over {1 - 3{n^2}}}\)

d.  \({u_n} = {{{4^n}} \over {{{2.3}^n} + {4^n}}}\)

Bài 7. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân.

b. Tìm \(\lim u_n\).

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁,…, tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, … . Gọi p₁, p₂, ..., p_n, … và S₁, S₂, …, S_n, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

a. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

b. Tìm các tổng

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...\,va\,{S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)

Bài 9. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số :

a. \(0,444…\)

b. \(0,2121…\)

c. \(0,32111…\)

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 2}\), C₂là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 4},...\) C­_nlà đường gồm \({2^n}\) nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over {{2^n}}},...\) (h. 4.2). Gọi p_n là độ dài của C_n, S_n là diện tích hình  phẳng giới hạn bởi  và đoạn thẳng AB.

a. Tính p_n và S_n.

b. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S­_n).