Bài 2. Dãy số

Cho hàm số \(\displaystyle f(n) ={1 \over {2n - 1}}\), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với u_n = 1 + \({1 \over n}\); v_n = 5n – 1.

a) Tính u_n+1, v_n+1.

b) Chứng minh u_n+1 < u_n và v_n+1 > v_n, với mọi n ∈ N*.

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*

Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

a) \(u_n=\dfrac{n}{2^{n}-1}\)                      b) \(u_n= \dfrac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)

c) \(u_n=(1+\dfrac{1}{n})^{n}\)                  d) \(u_n =\dfrac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)

Cho dãy số \(u_n\) , biết:

\( u_1 = -1; u_{n+1} = u_n +3\) với \(n ≥ 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4\).

Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết:  

a) \(u_n= \dfrac{1}{n}-2\) ;              b) \(u_n= \dfrac{n-1}{n+1}\);

c) \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)  d) \(u_n= \dfrac{2n+1}{5n+2}\)

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) \(u_n= 2n^2-1\);   b) \( u_n=\dfrac{1}{n(n+2)}\)