Bài 2. Dãy số

Bài 9. Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {{2{n^2} - 3} \over n}\)

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}\)

c. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

Đề bài

Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\(\displaystyle {u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 2\) ;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi :

\(\displaystyle {u_1} = 1,{u_2} = - 2\,\text{ và }\,u_n={u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 3\).

Bài 11. Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n, … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A_n, B_n , C_n, và D_n tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Bài 12. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3\) với mọi \(n ≥ 2\).

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi \(n ≥ 1\) ta có \({u_n} = {2^{n + 1}}-3\)   (1)

Bài 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\) ;

b. Dãy số (x_n) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu u_n+1 – u_n.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

Bài 15. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Bài 16. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\(\displaystyle {u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Bài 18. Cho dãy số (s_n) với  \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6}.\)

a. Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

b. Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.