Bài 2. Giới hạn của hàm số

Xét hàm số:

\(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\)

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số x_n, x_n → 1 như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f(x₁), f(x₂),…, f(x_n), …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x_n)).

a) Chứng minh rằng \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n} = \dfrac{{2n + 2}}{n}\)

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(x_n)).

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì x_n, x_n ≠ 1 và x_n → 1, ta luôn có f(x_n) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số \(\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Cho hàm số f(x) = \({1 \over {x - 2}}\) có đồ thị như ở Hình 52

Quan sát đồ thị và cho biết:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở Ví dụ 4, cần thay 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x → 1?

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\dfrac{x+1}{3x - 2}\);

b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Cho hàm số

\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr 
2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \dfrac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\dfrac{1}{n}\).

Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim f(v_n)\)

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\)?

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{\lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\);             b) \(\underset{x\rightarrow -2}{\lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\); 

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{\lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\);          d) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\);

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\);           f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\). 

Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).

Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).

Tính:

\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} - {x^2} + x - 1) \cr 
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5) \cr 
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\sqrt {{x^2} - 2x + 5}) \cr 
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 - 2x}} \cr} \)

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d'\) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \(AB\) và từ ảnh \(A'B'\) của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d'}=\dfrac{1}{f}.\)

a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d' = φ(d)\).

b) Tìm \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{\lim} φ(d)\), \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{\lim} φ(d)\) và \(\underset{d\rightarrow +\infty }{\lim} φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.