Bài 2: Giới hạn của hàm số

Đề bài

a) Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin x\) không có giới hạn khi \(x \to + \infty \) 

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Đề bài

Tìm giới hạn của các hàm số sau : a) \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x - 3} \over {x - 1}}\) khi \(x \to 3\) ; b) \(h\left( x \right) = {{2{x^3} + 15} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) khi \(x \to - 2\) ; c) \(k\left( x \right) = \sqrt {4{x^2} - x + 1} \) khi \(x \to - \infty \) ; d) \(h\left( x \right) = {{x - 15} \over

a) \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x - 3} \over {x - 1}}\) khi \(x \to 3\) ;

b) \(h\left( x \right) = {{2{x^3} + 15} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) khi \(x \to  - 2\) ;

c) \(k\left( x \right) = \sqrt {4{x^2} - x + 1} \) khi \(x \to  - \infty \) ;

d) \(h\left( x \right) = {{x - 15} \over 

{x + 2}}\) khi \(x \to  - {2^ + }\) và khi \(x \to  - {2^ - }\)

Đề bài

Tính các giới hiới hạn sau :

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {{x + 3} \over {{x^2} + 2x - 3}}\) ;    b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x - 1} \over {{x^2} - 1}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {{x - 5} \over {\sqrt x  - \sqrt 5 }}\) ;     d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  {{x - 5} \over {\sqrt x  + \sqrt 5 }}\) ;

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt {x + 3}  - 2}}\) ;   f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 - 2x + 3{x^3}} \over {{x^3} - 9}}\) ;

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {1 \over {{x^2}}}\left( {{1 \over {{x^2} + 1}} - 1} \right)\) ;

h) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\left( {{x^2} - 1} \right){{\left( {1 - 2x} \right)}^5}} \over {{x^7} + x + 3}}\).

Đề bài

Tính giới hạn của các hàm số sau khi \(x \to + \infty \) và khi \(x \to - \infty \) a) \(f\le

a) \(f\left( x \right) = {{\sqrt {{x^2} - 3x} } \over {x + 2}}\) ;

b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - x + 1}\) ;

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - x}  - \sqrt {{x^2} + 1} \) .

Đề bài

Cho khoảng \(K,{x_0} \in K\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) sao cho \(f\left( c \right) > 0\)

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\)

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty \) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc \(\left( {a; + \infty } \right)\) sao cho \(f\left( c \right) < 0\)