Bài 2: Phép cộng và phép nhân các số phức

Thực hiện các phép tính:

a) \((2  + 4i)(3 – 5i)  + 7(4 – 3i)\)

b) \({\left( {1 - 2i} \right)^2} - \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \((5 - 7i) + \sqrt 3 x = (2 - 5i)(1 + 3i)\)

b)  \(5 – 2ix = (3 + 4i)(1 – 3i)\)

Tính các lũy thừa sau:

a) \({\left( {3 - 4i} \right)^2}\)             

b) \({\left( {2\; + 3i} \right)^3}\)

c) \({\left[ {\left( {4\; + {\rm{ }}5i} \right) - \left( {4\; + 3i} \right)} \right]^5}\)

d) \({(\sqrt 2  - i\sqrt 3 )^2}\)

Tính:

a) \({\left( {1\; + {\rm{ }}i} \right)^{2006}}\)                   b) \({\left( {1 - i} \right)^{2006}}\)

Cho \(z = a + bi\). Chứng minh rằng:

a) \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} = 2({a^2} - {b^2})\)

b) \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2} = 4abi\)

c) \({z^2}{\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}\)

Phân tích thành nhân tử trên tập số phức:

a) \({u^2} + {v^2}\)                  b) \({u^4} - {v^4}\)

Tính giá trị của biểu thức  \(P = {(1 + i\sqrt 3 )^2} + {(1 - i\sqrt 3 )^2}\)

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

a) Cho hai số phức \({z_1} = 1\; + 2i;{z_2} = 2 - 3i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} - 2{z_2}\) .

b) Cho hai số phức \({z_1} = 2\; + 5i;{z_2} = 3 - 4i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({z_1}.{z_2}\).

Cho \(z \in \mathbb{C}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(z + \overline z  \in \mathbb{R}\)           B. \(z.\overline z  \in \mathbb{R}\)

C. \(z - \overline z  \in \mathbb{R}\)           D. \({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} \in \mathbb{R}\)

Cho \(n,k \in \mathbb{N}\), biết \({i^n} =  - 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(n\) là một số chẵn       B. \(n\) là một số lẻ

C. \(n = 4k + 2\)               D. \(n = 4k + 3\)

Cho \({z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\). Khẳng định nào sau đây sai?

A. \({z_1}\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\)

B. \({z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}}  \in \mathbb{R}\)

C. \({z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\)

D. \({z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}}  \in \mathbb{R}\)