Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3)\). Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).

Hãy tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((α): 4x – 2y - 6z +7 = 0\).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \((MNP)\) với \(M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)\).

Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì ?

Nếu A = C = 0 và B ≠ 0 hoặc nếu B = C = 0 và A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) có đặc điểm gì?

Cho hai mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) có phương trình

\((α): x - 2y + 3z + 1 = 0\); \((β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0\).

Có nhận xét gì về vecto pháp tuyến của chúng?

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) cho bởi các phương trình sau đây: (α): x – 2 = 0; (β): x – 8 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm \(A(0 ; -1 ; 2)\) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\) và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\).

c) Đi qua ba điểm \(A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0)\) và  \(C(0 ; 0 ; -1)\).

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2 ; 3 ; 7)\) và \(B(4 ; 1 ; 3)\).

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy), (Oyz), (Ozx)\).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2 ; 6 ; -3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lập phương trình mặt phẳng :

a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4 ; -1 ; 2)\);

b) Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1 ; 4 ;-3)\);

c) Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\);

Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).\)

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(2 ; -1 ; 2)\) và song song với mặt phẳng \(( β)\) có phương trình: \(2x - y + 3z + 4 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng \(( α)\) đi qua hai điểm \(A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta)\):  \(2x - y + z - 7 = 0\). 

Xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(nx - 8y - 6z + 2 = 0\);

b) \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\);

Tính khoảng cách từ điểm \(A(2 ; 4 ; -3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\) ;

b) \(12x - 5z + 5 = 0\) ;

c) \(x = 0\).

Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.