Bài 2. Tích phân

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

3. Chứng minh rằng \(S(t)\) là một nguyên hàm của \(f(t)=2t+1, t\in [1;5]\) và diện tích \(S=S(5)-S(1)\).

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{{(2x + 1)}^2}} dx\)

1. Tính \(I\) bằng cách khai triển \({\left( {2x{\rm{ }} + 1} \right)^2}\)

2. Đặt \(u = 2x + 1\). Biến đổi biểu thức \({\left( {2x{\rm{ }} + 1} \right)^2}dx\) thành \(g(u)du\).

3. Tính \(\int\limits_{u(0)}^{u(1)} {g(u)du} \) và so sánh kết quả với \(I\) trong câu 1.

a) Hãy tính \(\smallint {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){e^x}dx\) bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

b) Từ đó tính \(\int\limits_0^1 {(x + 1){e^x}dx} \)

Tính các tích phân sau:

a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)

b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\dfrac{\pi}{4}-x)dx\)

c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\)

d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)

e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)

g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)

b) \(\int_0^{{\pi  \over 2}} \sin ^2xdx\)

c) \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)

d) \(\int_0^\pi  \sin 2x\cos ^2xdx\)

Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt \(u= x+1\)) 

b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) )

c) \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))

d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x)dx\)      ;       d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);        b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số: \(u = 1 - x\);

b) Tính tích phân từng phần.

Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn các đường thẳng \(y = -2x – 1, y = 0, x = 1\) và \(x = 5\).

So sánh với diện tích hình thang vuông trong câu hỏi 1 bài 2.

Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B\) và chiều cao bằng \(h\).

Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học.