Bài 2: Tích phân

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {({y^3} + 3{y^2} - 2)dy} \)

b) \(\int\limits_1^4 {(t + \dfrac{1}{{\sqrt t }}}  - \dfrac{1}{{{t^2}}})dt\)

c) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {(2\cos x - \sin 2x)dx} \)

d) \(\int\limits_0^1 {{{({3^s} - {2^s})}^2}ds} \)

e) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\cos 3xdx}  + \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\cos 3xdx}  + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{\dfrac{{5\pi }}{2}} {\cos 3xdx} \)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)  (đặt  \(t = 1 - x\))

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)    (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))

c) \(\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \)  (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))

d) \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)    (đặt  \(x = \pi  - t\))

e) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \)

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \)

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

c) \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)

d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \)

e) \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)

g) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

Tính các tích phân sau đây:

a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {(x + 1)\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)} dx\)

b) \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx} \)

c) \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx\)  (đặt \(t = x + \dfrac{1}{x}\))

d) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \)

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)\) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}\) là hàm số chẵn.

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\). Chứng minh rằng:

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(1): nếu \(f\) là hàm số chẵn.

(2): nếu \(f\) là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \)

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx} \)

Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)

a) Chứng minh rằng \({I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\)

b) Tính \({I_3}\) và \({I_5}\).

Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:

a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}  + \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin xdx}  + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \)

b) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}} \right)dx}  = 0\)

c) \(\int\limits_{ - \dfrac{1}{2}}^{\dfrac{1}{2}} {\ln \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}dx}  = 0\)

d) \(\int\limits_0^2 {\left( {\dfrac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1} \right)dx}  = 0\)

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:\(\int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \).

A. \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx} \)

B. \(\int\limits_0^\pi  {2\sin xdx} \)

C. \(\int\limits_0^\pi  {\sin xdx}  - \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx} \)

D. \( - \int\limits_0^{2\pi } {2\sin xdx} \)

\(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x - {x^3}} \right|dx} \) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\)                              B. \(2\)

C. \( - 1\)                            D. \(0\)

\(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{\sin 2x\sin x}}{2} + {{\cos }^3}x} \right)dx} \) bằng:

A. \(2\)                     B. \( - 1\)

C. \(\pi \)                     D. \( - \pi \)

\(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} \) bằng

A. \( - 1 - \dfrac{1}{e}\)              B. \(1 - \dfrac{2}{e}\)

C. \( - 1 + \dfrac{2}{e}\)             D. \(0\)

Đối với tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\) ta được:

A. \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {tdt} \)                 B. \(\int\limits_{ - 1}^0 {tdt} \)

C. \(\int\limits_0^1 {tdt} \)                   D. \( - \int\limits_0^1 {tdt} \)

\(\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx} \) bằng

A. \(2\left( {\sin 1 - \cos 1} \right)\)

B. \(\sin 1 - \cos 1\)

C. \(2\left( {\cos 1 - \sin 1} \right)\)

D. \(2\left( {\sin 1 + \cos 1} \right)\)