Bài 2: Tích vô hướng của hai vec tơ
Bài Tập và lời giải
Đề bài
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\({(\overrightarrow a + \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
\({(\overrightarrow a - \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
\((\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\);
Đề bài
Tam giác ABC vuông tại A và có \(AB = AC = a\). Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \);
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm\).
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc \(A\);
b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \).
Đề bài
Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng tỏ rằng tam giác \(ABC\) có góc \(A\) tù.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \).
Đề bài
Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Đề bài
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .(\overrightarrow a + \overrightarrow b )\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \).
Đề bài
Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{4}B{C^2}\).
Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với \(A = (2;4),B( - 3;1)\) và \(C = (3; - 1)\). Tính:
a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;
b) Tọa độ chân \(A'\) của đường cao vẽ từ đỉnh A.
Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm \(A( - 1; - 1),B(3;1)\)và C(6;0)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính góc B của tam giác ABC.
Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;4) và B(3;-2). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\).
Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm \(A(3;4),B(4;1),C(2; - 3),D( - 1;6)\). Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
