Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?

 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2).

Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \)

Cho tam giác vuông cân \(ABC\) có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\vec{AB}.\vec{AC}\), \(\vec{AC}.\vec{CB}\).

Cho ba điểm \(O, A, B\) thẳng hàng biết \(OA = a, OB = b\). Tính tích vô hướng của \(\vec{OA}\).\(\vec{OB}\) trong \(2\) trường hợp

a) Điểm \(O\) nằm ngoài đoạn \(AB.\)

b) Điểm \(O\) nằm trong đoạn \(AB.\)

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có  đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(M\) và \(N\) là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(I\).

a) Chứng minh \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\);

b) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\) theo \(R.\)

Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3), \,  B(4;2)\)

a) Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA = DB\);

b) Tính chu vi tam giác \(OAB\);

c) Chứng tỏ rằng \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB.\)

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau :

a) \(\overrightarrow a  = (2; -3) ,\)  \(\overrightarrow b = (6, 4);\)

b)  \(\overrightarrow a  = (3; 2),\) \(\overrightarrow b = (5, -1);\)

c)  \(\overrightarrow a  = (-2; -2\sqrt3)\), \(\overrightarrow b = (3; \sqrt3)\);

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm :  \(A(7; -3);  \, B(8; 4); \,  C(1; 5); \,  D(0;-2)\).

Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Trên mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A(-2; 1)\). Gọi \(B\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua gốc tọa độ \(O\). Tìm tọa độ của điểm \(C\) có tung độ bằng \(2\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(C\).