Gọi A’, d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được \(A \in d\)
a)\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{A'}} = 1 \hfill \cr {y_{A'}} = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)\)
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow v }} \Rightarrow d'//d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)\)
\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A'\left( {1;3} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \) \(\Rightarrow 3 + 3 + c = 0 \).
\(\Leftrightarrow c = - 6\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x + y - 6 = 0\).
b) \({D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left( {1;2} \right)\)
Lấy điểm \(B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left( B \right) = B'\left( {0; - 1} \right)\).
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy \( \Rightarrow d' \equiv A'B' \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d’ là:
\(\displaystyle{{x - 1} \over {0 - 1}} = {{y - 2} \over { - 1 - 2}} \Leftrightarrow 3x - 3 = y - 2 \) \(\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\).
c) \({D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)\)
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({D_{\left( O \right)}} \Rightarrow d'//d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)\)
\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0 \)
\(\Leftrightarrow c = - 1\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x + y - 1 = 0\).
d) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow \) Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x' = - 1.\cos 90 - 2.\sin 90 = - 2 \hfill \cr y' = - 1.\sin 90 + 2.\cos 90 = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)\)
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(x - 3y + c = 0\).
\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( { - 2; - 1} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .\)
\(\Leftrightarrow c = - 1\).
Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(x - 3y - 1 = 0\).
