a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)
\(\Leftrightarrow f(x) = \frac{2}{x-1}-\frac{5}{2x-1}=\frac{-x+3}{(2x-1)(x-1)}\)\(\leq 0\).
Xét dấu của \(f(x)\) ta được bảng xét dấu:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\
x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( {\frac{1}{2} < 1 < 3} \right)
\end{array}\)
Tập nghiệm của bất phương trình là:
\(T = \left ( \frac{1}{2};1 \right ) ∪ [3; +∞)\).
b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - x - 1}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0
\end{array}\).
\(f(x)\) không xác định với \(x = ± 1\).
Ta có: \(\begin{array}{l}
x = 0\\
x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( { - 1 < 0 < 1 < 3} \right)
\end{array}\)
Xét dấu của \(f(x)\) ta được bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là:
\(T = (-∞; - 1) ∪ (0; 1) ∪ (1; 3)\).
c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3} \)\(\Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}-\frac{3}{x+3}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} \\ - \frac{{3x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
= \frac{{{x^2} + 7x + 12 + 2{x^2} + 6x - 3{x^2} - 12x}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} \\= \frac{{x + 12}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}<0
\end{array}\)
Bảng xét dấu:
Ta có: \(\begin{array}{l}
x = 0\\
x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = - 12\\
x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4\\
x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3
\end{array}\)
Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left ( -12;-4 \right ) ∪ (-3; 0)\).
d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)
\( \Leftrightarrow f(x) = {{{x^2} - 3x + 1} \over {{x^2} - 1}} - 1 = {{{x^2} - 3x + 1 - {x^2} + 1} \over {{x^2} - 1}} \)\(= {{ - 3x + 2} \over {(x - 1)(x + 1)}} < 0\)
Bảng xét dấu:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
- 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\\
x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)
Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left ( -1;\frac{2}{3} \right ) ∪ (1; +∞)\).
