Phương pháp:
Sử dụng: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường vuông góc và vô số đường xiên đến đường thẳng đó.
Các đáp án (A) và (D) đúng, (B) và (C) sai.
Hình minh họa:
(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
(D) Có vô số đường xiên kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
Trong hình trên thì các đường \(AF;AC;AD;AE\) đều là các đường xiên kẻ từ \(A\) đến đường thẳng \(d) và có vô số đường xiên như thế.
Bài 2.2
Qua điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d,\) kẻ đường vuông góc \(AH\) và các đường xiên \(AB, AC\) đến đường thẳng \( d\) (\(H, B, C\) đều thuộc \(d).\) Biết rằng \(HB < HC.\) Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(A) \(AB > AC \) (B) \(AB = AC\)
(C) \(AB < AC\) (D) \(AH > AB\)
Phương pháp:
Sử dụng: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn
Theo định lý so sánh giữa hình chiếu và hình xiên ta có: \(HB < HC \Rightarrow AB < AC.\)
Chọn (C)
Bài 2.3
a) Hai tam giác \(ABC, A’B’C’ \)vuông tại \(A\) và \(A’\) có \(AB = A’B’, AC > A’C’.\) Không sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng \(BC > B’C’.\)
b) Hai tam giác \(ABC, A’B’C’\) vuông tại \(A \) và \(A’\) có \(AB = A’B’, BC > B’C’.\) Không sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng \(AC > A’C’.\)
Phương pháp:
Sử dụng: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Và sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Cách giải:
a) Do \(AC > A’C’\) nên lấy được điểm \({C_1}\) trên cạnh \(AC\) sao cho \({\rm{A}}{C_1} = A'C'\).
Xét hai tam giác vuông \(ABC_1\) và \(A'B'C'\) có \(AB=A'B';\,AC_1=A'C'\)
Suy ra tam giác vuông \(AB{C_1}\) bằng tam giác vuông \(A’B’C’,\) do đó \(B'C' = B{C_1}\).
Mặt khác hai đường xiên \(BC\) và \(B{C_1}\) kẻ từ B đến đường thẳng \(AC\) lần lượt có hình chiếu trên \(AC\) là \(AC \) và \({\rm{A}}{C_1}\). Vì \({\rm{A}}C > A{C_1}\) nên \(BC > B{C_1}\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Suy ra \(BC > B’C’.\)
b) Dùng phản chứng:
- Giả sử \(AC < A’C’.\) Khi đó theo chứng minh câu a) ta có \(BC < B’C’.\) Điều này không đúng với giả thiết \(BC > B’C’.\)
- Giả sử \(AC = A’C’.\) Khi đó ta có \(∆ABC = ∆A’B’C’ (c.g.c).\) Suy ra \(BC = B’C’.\)
Điều này cũng không đúng với giả thiết \(BC > B’C’.\)
Vậy ta phải có \(AC > A’C’.\)
