a) Ta có \(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC\) (gt) nên
\(\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác của tam giác)\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} = {n \over m} \cr
& \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} + 1 = {n \over m} + 1 \cr
& \Rightarrow {{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}} \over {{S_{ABD}}}} = {{n + m} \over m} \cr} \)
\( \Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \dfrac{m}{n+m}\)
hay \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m}\)
\( \Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}\)
Vì \(AM\) là trung tuyến của \(∆ABC\) (gt) \(\Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\).
Có \(AB < AC( m<n)\) vì \(AD\) là đường phân giác, \(AM\) là đường trung tuyến kẻ từ \(A\) nên \(AD\) nằm giữa \(AB\) và \(AM\).
\( \Rightarrow S_{ADM}= S_{ABM}- S_{ABD}\)
\( \Rightarrow S_{ADM} = \dfrac{1}{2}S -\dfrac{m}{n+m}S \)\(\,= \dfrac{S(m+n-2m)}{2(m+n)}\)
\(S_{ADM}= \dfrac{S(n -m)}{2(m+n)}\) (với \(n>m\))
b) Khi \(n = 7cm, m = 3cm\) ta có:
\({S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left( {7 + 3} \right)}}.S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{{20.S }}{100} \)\(\,= 20\% S\)
Vậy \(S_{ADM} = 20\%S_{ABC}\).
