a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {21^2} + {28^2} \)\(\,= 1225\)
\( \Rightarrow BC = 35 \;(cm)\)
Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên ta có:
\(\displaystyle {{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác)
Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:
\(\displaystyle {{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)
\( \displaystyle \Rightarrow BD = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{35.21} \over {21 + 28}} = 15\) (cm)
Vậy \(DC = BC - BD = 35 - 15 = 20\)\( \;(cm)\)
Trong tam giác \(ABC\) có \(DE // AB\) nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\)
\( \displaystyle \Rightarrow DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{20.21} \over {35}} = 12\) (cm)
b) Ta có \( \displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.21.28 = 294\)\(\;(c{m^2})\)
Vì \(∆ ABC\) và \(∆ ADB\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(A\), do đó:
\(\displaystyle {{{S_{ADB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BD} \over {BC}} = {{15} \over {35}} = {3 \over 7} \)
\(\displaystyle \Rightarrow {S_{ADB}} = {3 \over 7}{S_{ABC}} = {3 \over 7}.294 = 126\)\(\;(c{m^2}) \)
Vậy \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 294 - 126 \)\(\,= 168\;(c{m^2})\).
