a) Vì trục OO’ vuông góc với các đáy nên \(\displaystyle {\rm{OO}}' \bot OA;{\rm{O}}O' \bot O'B\) .
Vậy các tam giác AOO’ và BO’O vuông tại O và O’.
Theo giả thiết ta có \(\displaystyle AO \bot O'B\) mà \(\displaystyle AO \bot {\rm{OO}}' = > AO \bot ({\rm{OO}}'B)\).
Do đó, \(\displaystyle AO \bot OB\) nên tam giác AOB vuông tại O.
Tương tự, ta chứng minh được tam giác AO’B vuông tại O’. Thể tích hình chóp OABO’ là: \(\displaystyle V = {1 \over 3}{S_{\Delta {\rm{OO}}'B}}.AO\)
Hay \(\displaystyle V = {1 \over 3}.{1 \over 2}OO'.O'B.AO \) \(\displaystyle = {1 \over 6}.r\sqrt 2 .{r^2} = {{\sqrt 2 } \over 6}{r^3}\)
b) Ta có \(\displaystyle (\alpha )\) là (ABB’). Vì OO’ // \(\displaystyle (\alpha )\) nên khoảng cách giữa OO’ và \(\displaystyle (\alpha )\) bằng khoảng cách từ O đến \(\displaystyle (\alpha )\).
Dựng \(\displaystyle OH \bot AB'\) ta có \(\displaystyle OH \bot (\alpha )\) .
Vậy khoảng cách cần tìm là \(\displaystyle OH = {{r\sqrt 2 } \over 2}\).
c) Đường tròn tâm O có bán kính bằng \(\displaystyle {{r\sqrt 2 } \over 2}\) tiếp xúc với AB’ tại H là trung điểm của AB’.
Do đó mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) song song với trục OO’ chứa tiếp tuyến của đường tròn đáy, nên \(\displaystyle (\alpha )\) tiếp xúc với mặt trụ dọc theo một đường sinh, với mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng \(\displaystyle {{r\sqrt 2 } \over 2}\).
