Bài 2.14 trang 91 SBT hình học 10

Đề bài

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:

\({(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);

\({(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \);

\((\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\);

Ta có: \({(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a  + \overrightarrow b ).(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\)\( = \overrightarrow a .\overrightarrow a  + \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow a  + \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\({\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\) \( = \overrightarrow a .\overrightarrow a  - \overrightarrow b .\overrightarrow a  - \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\).

\((\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )\)\( = \overrightarrow a .\overrightarrow a  + \overrightarrow b .\overrightarrow a  - \overrightarrow a .\overrightarrow b  - \overrightarrow b .\overrightarrow b \) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)