a) Theo giả thiết ta có: \(\displaystyle \widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(\displaystyle r = {{A'M} \over 2}\)
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó \(\displaystyle \cos \varphi = {{M{M_1}} \over {AM}}\) nên \(\displaystyle AM = {{M{M_1}} \over {\cos \varphi }} = {x \over {\cos \varphi }}\)
Do đó \(\displaystyle A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}\)
\(\displaystyle \Rightarrow A'M = \sqrt {{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}} = {1 \over {\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Mặt cầu tâm O có bán kính \(\displaystyle r = {{A'M} \over 2} = {1 \over {2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A'M)^2} = \pi ({a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }})\)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // \(\displaystyle \Delta \) nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với \(\displaystyle \Delta \).
Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.
Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.
