Bài 2.17 trang 61 SBT hình học 12

Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h

(0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)  cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)

a) Chứng minh các tổng AD² + BC² và AC² + BD² có giá trị không đổi.

b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?

c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).

a) Tam giác ADC vuông tại A nên AD² = DC² – AC²  (1)

Tam giác ABC vuông tại A nên  BC² = AC² + AB²  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra AD² + BC² = DC² + AB²  (3)

Ta lại có:

AC² = DC² – AD²   và BD² = AD² + AB²   (4)

DC² = 4(r² – h²)   , AB² = 4h²   (5)

Từ (4) và (5) ta có:

AC² + BD² =DC² + AB² = 4(r² – h²) + 4h² = 4r²  (6)

Từ (3) và (6) ta có: AD² + BC² = AC² + BD²(không đổi)

b) Diện tích tam giác BCD bằng  \({S_{\Delta BCD}} = {1 \over 2}BH.DC\)

Diện tích  này lớn nhất khi AI // CD.

c) Ta có \(AH \bot DC\) . Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông.

Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\).