Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Ta có: \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} \) vì M là trung điểm của đoạn HD.
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} \)
Do đó: \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} ).(\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} )\)
\( = \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\)
\( = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \) \( = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {BH} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} } \right)\) \( = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \)
Vậy AM vuông góc với BD.
