a) Hình trụ nội tiếp trong lăng trụ tam giác đều có đường tròn đáy tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, r là bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ, ta có: \(\displaystyle AI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\).
Do đó, \(\displaystyle r = {{a\sqrt 3 } \over 6}\).
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp lăng trụ là:
\(\displaystyle {S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 6}.h \) \(\displaystyle = {{\sqrt 3 \pi ah} \over 3}\)
b) Ta có mặt phẳng (AA’I) là mặt phẳng qua trục hình trụ.
Mặt phẳng này cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật IKK’I’.
Đoạn A’I cắt KK’ tại M nên cắt hình trụ theo đoạn IM.
Ta có: \(\displaystyle {{KM} \over {AA'}} = {{IK} \over {IA}} = {2 \over 3}\) \(\displaystyle \Rightarrow KM = {2 \over 3}h\)
Xét tam giác vuông IKM ta có: \(\displaystyle I{M^2} = I{K^2} + K{M^2} \) \(\displaystyle = {{3{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9} = {{3{a^2} + 4{h^2}} \over 9}\)
Vậy \(\displaystyle IM = {{\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} } \over 3}\).
