Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.\)
Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2), ta được:
\((1+\sqrt{2})x+(1 - \sqrt{2})y - (1+\sqrt2)x-(1 + \sqrt{2})y = 5-3\)
\((1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 5-3\)
\(⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2\)
\( \Leftrightarrow -2\sqrt{2}y = 2\)
\(\Leftrightarrow y = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}}\)
\( \Leftrightarrow y =\dfrac{-\sqrt{2}}{2} \) \((3)\)
Thay \((3)\) vào \((1)\) ta được:
\( (1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\dfrac{-\sqrt{2}}{2} = 5\)
\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt 2 . \sqrt 2}{2} = 5\)
\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + 1 = 5\)
\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x =5- \dfrac{-\sqrt{2}}{2} - 1 \)
\(\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{(8 + \sqrt{2}).(1-\sqrt 2)}{2(1 + \sqrt{2})(1- \sqrt 2)}\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{2(1 - 2)}\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{6 - 7\sqrt{2}}{-2}\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \( {\left(\dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}; \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right)}\)
