Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).
Theo giả thiết ta có \(SA = SB = SC = a \) và \(\widehat {SIO} = \alpha \).
Đặt \(OI = r, SO = h\), ta có \(AO = 2r\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = r\tan \alpha }\\{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}\end{array}} \right.\) (vì \(S{A^2} = {\rm{ }}S{O^2} + {\rm{ }}A{O^2}\))
Do đó \({a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha + 4)\)
Vậy \(r = \dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\)
Hình nón nội tiếp có đường sinh là: \(l = SI = \dfrac{r}{{\cos \alpha }} = \dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\)
Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
\({S_{xq}} = \pi rl\)\( = \pi .\dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}.\dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\) \( = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha + 4)}}\)
