Bài 2.33 trang 102 SBT hình học 10

Đề bài

Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

a) Tính \({m_a}\), biết rằng a = 26, b = 18, c = 16

b) Chứng minh rằng: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\).

a) \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{{{18}^2} + {{16}^2}}}{2} - \dfrac{{{{26}^2}}}{4}\) \( = \dfrac{{324 + 256}}{2} - \dfrac{{676}}{4} = \dfrac{{484}}{4}\)\( \Rightarrow {m_a} = \dfrac{{22}}{2} = 11\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m_a^2 = 2({b^2} + {c^2}) - {a^2}\\4m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}\\4m_c^2 = 2({a^2} + {b^2}) - {c^2}\end{array} \right.\)

Ta suy ra: