a) Ta chứng minh công thức: \(a = b\cos C + c\cos B\)
Thật vậy, \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\) \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Do đó \(b\cos C + c\cos B\) \( = b.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)
\( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) \( = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\) nên \(a = b\cos C + c\cos B\).
Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\).
Thay các giá trị này vào công thức \(a = b\cos C + c\cos B\) ta có:
\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)
\( \Rightarrow \sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos C.\)
Chú ý: Các em cũng có thể sử dụng phối hợp định lý cô sin và định lý sin trong tam giác để thay trực tiếp vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về vế trái.
b) Ta có: \(\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow \sin B = \dfrac{b}{{2R}},\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\)
Khi đó \(2R\sin B\sin C\) \( = 2R.\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\).
Lại có: \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) \( \Rightarrow \dfrac{{bc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}{h_a} \Leftrightarrow {h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\)
Vậy \({h_a} = 2R\sin B\sin C\).
